Prime Number Theorem and Riemann Hypothesis (소수정리와 리만 가설)

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지난 학기에 틈틈이 공부한 것에 새로운 내용을 보충하여 문서를 작성했습니다. 오류가 있으면 바로 알려주세요. (수정은 늦을 수도 있습니다.)

 

문서의 첫 번째 목표는 소수의 분포에 관한 정리인 소수 정리(prime number theorem)를 증명하는 것입니다. 양수 $x$에 대하여, $x$보다 작거나 같은 소수의 개수를 $\pi(x)$라 하겠습니다. 소수의 분포를 근사하기 위해서 $\pi(x)$를 따라가는 적당한 함수를 찾아야 하고, 그 함수는 바로 다음과 같이 정의된 로그 적분 함수(logarithmic integral function) $\mathrm{li}(x)$입니다.

$$\mathrm{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\log t}$$

$\pi(x)$와 $ \mathrm{li}(x) $에 대하여 다음 관계가 성립하는데 이것이 소수 정리입니다.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)} = 1$$

즉 이는 $x$ 근처에서 소수의 "밀도"가 $1/\log x$ 정도임을 의미하기도 합니다.

 

문서의 두 번째 목표는 리만 가설과 소수의 분포 사이의 관계를 설명하는 것입니다. 먼저 제타 함수 $\zeta(s)$는 $s > 1$에 대하여 다음과 같이 정의됩니다.

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$

이러한 $\zeta(s)$를 $s = 1$을 제외한 복소평면 전체로 확장할 수 있고, 이때 $s = -2, -4, \cdots$에 대하여 $\zeta(s) = 0$이 성립합니다. 이러한 음의 짝수들을 $\zeta(s)$의 자명한 영점들(trivial zeros)이라고 합니다. 한편 자명한 영점이 아닌 영점들, 즉 비자명한 영점들(nontrivial zeros)의 실수부는 $0$ 이상 $1$ 이하이고, 직선 $\mathop{\mathrm{Re}} s = 1/2$에 대하여 대칭적으로 분포합니다. 

 

리만은 $\zeta(s)$의 비자명한 영점의 분포에 대해 다음과 같은 추측을 제안했으며, 리만 가설(Riemann hypothesis)로 알려져 있습니다.

$\zeta(s)$의 비자명한 영점의 실수부는 모두 $\displaystyle \frac12$이다.

 

이제 리만 가설과 소수의 분포에 어떤 관계가 있는지 대략적으로 알아보겠습니다.

 

실수부가 $1$인 복소수들의 직선 $\mathop{\mathrm{Re}} s = 1$ 위에는 영점이 없으며, 더 나아가서 다음 그림과 같이 생긴 영역이 있어서 노란색으로 색칠한 부분에만 비자명한 영점이 존재함을 보일 수 있습니다.

 

즉 직선 $\mathop{\mathrm{Re}} s = 1$과 영점이 너무 가까워질 수 없다는 것인데, 이것이 소수 정리에서 $\pi(x)$와 $\mathrm{li}(x)$의 차이를 구할 때 중요하게 사용됩니다.

 

위 그림에서 표시된 영역은 소수 정리를 증명하는 데는 충분하지만, 여전히 너무 넓습니다. 만약 $\mathop{\mathrm{Re}} s = 1$과 영점들 사이의 거리를 일정 상수 이상으로 제한할 수 있으면 $\pi(x)$와 $\mathrm{li}(x)$의 차이를 더 줄일 수 있습니다. 앞에서 언급했듯이 비자명한 영점들은 직선 $\mathop{\mathrm{Re}} s = 1/2$에 대하여 대칭적으로 존재하므로, 리만 가설이 성립하는 것과 $\pi(x)$와 $\mathrm{li}(x)$의 차이를 최소한으로 줄이는 것이 동치입니다. 구체적으로, 리만 가설은 다음과 동치입니다:

$$\pi(x) = \mathrm{li}(x) + O(x^{1/2} \log x)$$

Big $O$-notation에 익숙하지 않은 독자들을 위하여 다시 설명하면, 이는 어떤 상수 $C > 0$이 존재하여 모든 $x$에 대해

$$ \vert \pi(x) - \mathrm{li}(x) \vert \le C x^{1/2} \log x $$

이도록 할 수 있음을 의미합니다.

 

이산적인 개념인 소수의 성질이 연속적인 개념인 복소해석학과 깊은 관련이 있다는 것이 참 아름답게 느껴집니다.