해석개론의 정수 제2판

Essence of Undergraduate Real Analysis 2nd Edition.pdf

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머리말

 

2022년 여름에 해석개론의 정수 초판이 완성된 이후 2년 만에 제2판을 쓰게 되었다. 개정의 가장 큰 이유는해석개론의 정수 초판에 오탈자가 너무 많아서 도저히 남에게 추천할 수 없는 수준이었기 때문이다. 그리고 개정하는 김에 LaTeX 조판을 좀 더 깔끔하게 개선했고, 새로운 내용 (특히 13장) 을 추가했다. 각 장에 예시와 연습문제를 수록한 것도 개정판에서 달라진 점이다.

대부분의 해석개론 수업의 교과서는 해석개론 (김성기, 김도한, 계승혁) 또는 Principles of Mathematical Analysis (W. Rudin) 이고 저자도 이 두 책으로 해석개론을 공부하였기에, 해석개론의 정수도 두 책의 영향을 많이 받았다. 하지만 해석개론의 정수를 집필하며 다음 세 가지 점에서 차별점을 두고자 노력하였다. 첫째, 앞에서 언급한 두 책과 달리 완비순서체에 대한 자세한 논의를 부록으로 옮겼다. 저자가 자주 느끼는 안타까운 점은, 해석개론을 시작하는 초보자들이 해석개론 ( 김성기, 김도한, 계승혁) 의 맨 처음에 나오는 "체"니 "순서체"니 하는 것들에 너무 매몰되어 진도를 나가지 못한다는 것이었다. 그것이 해석학에서 중요한 것이 아님에도 불구하고! 그래서 과감하게---논리적 정합성을 일부 희생하고---사실 1.1.11을 사실로서 받아들이고 이야기를 진행했다. 둘째, 가급적 일반적인 범위에서 논의를 진행하여 더 넓은 시각에서 해당 내용을 조망할 수 있게 하였다. 예를 들어, 일반적인 거리공간에 대해 성립하는 성질을 증명할 때에 유클리드공간의 특수한 성질을 사용하지 않았다는 것이다. 또 다른 예로, 일반적인 해석개론 교과서에서 증명하지 않는 "거리공간에서 컴팩트, 극한점 컴팩트, 수열 컴팩트가 동치이다"라는 사실을 증명하였다. 셋째, 모든 해석개론 교과서가 명시적으로 언급하지 않으면서 사용하는 [연습장]이라는 서술 방식을 도입하였다(이는 선형대수와 군 (이인석) 에서 가져온 것이다). [연습장]은 "결과를 알고 해야 하는 증명"에서 등장하며, 대표적으로 $\epsilon$--$\delta$ 논법에서 적절한 $\delta$를 선택할 때 필수적이다. [연습장]을 적재적소에 사용하는 것이 해석개론의 첫 번째 관문이라고 할 수 있고, 이 책은 그 능력을 키워 준다.

앞에서 언급했듯 이 책의 구성은 해석개론 (김성기, 김도한, 계승혁) 와 Principles of Mathematical Analysis (W. Rudin) 의 영향을 많이 받았다. 이외에 이 책에 큰 영향을 준 교과서, 자료, 및 강의들을 언급하는 것이 좋을 것 같다. 위상수학의 냄새가 나는 부분은 주로 Toplogy (J. R. Munkres) 을 참고한 것이고, 때때로 위상수학의 정수 (이진문) 을 참고하였다. 감마함수 및 관련 내용들 (13.2절) 은 Complex Analysis (E. M. Stein, R. Shakarchi) 와 Prime Number Theorem and Riemann Hypothesis (백인혁) 을, Fourier 급수 (13.4절) 와 변환 (13.5절) 은 Fourier Analysis (E. M. Stein, R. Shakarchi) 를 추가로 (꽤 많이) 참고하였다. 마지막으로, 서울대학교 수리과학부 서인석 교수님의 "해석개론 및 연습 2"와 "실해석학"을 저자가 수강하지 않았다면 10장부터 12장까지의 함수열과 함수공간에 대한 내용은 만들어질 수 없었다. 서인석 교수님께 무한한 감사를 표한다.

해석개론은 대부분의 학생들이 처음 만나는 "진지한 수학"이기 때문에, 증명이나 문제 풀이의 방법에 익숙해지려면 많은 노력이 필요하다. 증명과 문제 풀이에서 자주 쓰이는 테크닉을 익히고 직접 써 보는 것이 중요하다. 그리고 증명만큼이나 중요한 것이 수많은 예시와 반례를 알고 있는 것이다. 제2판 집필에서 신경쓴 부분이 많은 예시와 반례를 수록하는 것이었는데, 도움이 되었으면 좋겠다.

오타 및 오류 제보, 조판이 이상한 부분, 질문, 의견 등은 bih011122@gmail.com 으로 메일을 보내주면 된다. 즐거운 수학 공부가 되기를 바란다.